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解微分方程欧拉法R-K法及其MATLAB实例doc老字号高

发布时间:2019-11-05

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  解微分方程的欧拉法龙格库塔法及其MATLAB简单实例欧拉方法(Eulermethod)用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解分为前进EULER法、后退EULER法、改进的EULER法。缺点:欧拉法简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算当步数增多时误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。改进欧拉格式:为提高精度需要在欧拉格式的基础上进行改进。采用区间两端的斜率的平均值作为直线方程的斜率。改进欧拉法的精度为二阶。算法为:微分方程的本质特征是方程中含有导数项数值解法的第一步就是设法消除其导数值。对于常微分方程: x∈a,by(a)=y 可以将区间a,b分成n段那么方程在第xi点有y(xi)=f(xi,y(xi))再用向前差商近似代替导数则为:在这里h是步长即相邻两个结点间的距离。因此可以根据xi点和yi点的数值计算出yi来:i=,,,L这就是向前欧拉格式。改进的欧拉公式:将向前欧拉公式中的导数f(xi,yi)改为微元两端导数的平均即上式便是梯形的欧拉公式。可见上式是隐式格式需要迭代求解。为了便于求解使用改进的欧拉公式: 数值分析中龙格-库塔法(RungeKutta)是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。老字号高手论坛680345。实际上龙格库塔法是欧拉方法的一种推广向前欧拉公式将导数项简单取为f(xn,yn),而改进的欧拉公式将导数项取为两端导数的平均。今晚开码结果查询开奖博杰电子IPO:4家高新技术!龙格库塔方法的基本思想:在区间xn,xn内多取几个点将他们的斜率加权平均作为导数的近似。 龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用以至于经常被称为“RK”或者就是“龙格库塔法”。令初值问题表述如下。则对于该问题的RK由如下方程给出:其中这样下一个值(yn)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。该斜率是以下斜率的加权平均:   k是时间段开始时的斜率   k是时间段中点的斜率通过欧拉法采用斜率k来决定y在点tnh的值   k也是中点的斜率但是这次采用斜率k决定y值   k是时间段终点的斜率其y值用k决定。当四个斜率取平均时中点的斜率有更大的权值:RK法是四阶方法也就是说每步的误差是h阶而总积累误差为h阶。注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。  例子: 下面给出了数值求解该微分方程的简单程序。其中y,y,y,y分别为向前欧拉公式改进的欧拉公式级阶龙格库塔公式及精确解。www.05488.comh=x=:h:y=zeros(size(x))y()=y=zeros(size(x))y()=y=zeros(size(x))y()=fori=:length(x)   y(i)=y(i)h*(y(i)*x(i)y(i))   k=y(i)*x(i)y(i)   k=y(i)h*k*x(i)(y(i)h*k)   y(i)=y(i)h*(kk)         k=y(i)*x(i)y(i)   k=y(i)h*k*(x(i)h)(y(i)h*k)   k=y(i)h*k*(x(i)h)(y(i)h*k)   k=y(i)h*k*(x(i)h)(y(i)h*k)   y(i)=y(i)(k*k*kk)*h   endy=sqrt(*x)plot(x,y,x,y,x,y,x,y)legend(y,y,y,y)plot(x,yy,x,yy,x,yy)legend(y,y,y)

  1620年,著名的“五月花”号船满载被迫害的清教徒到达美洲,但随即他们遭遇寒冬,在印第安人的帮助下,移民们度过困难,为感谢印第安人的真诚帮助,便诞生了感恩节。


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